[ Pobierz całość w formacie PDF ]
f, to f (x0) = 0.
Uwaga 3.31. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie 3.32 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) ’! R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sÄ…siedztwie S(x0) ‚" (a, b)
punktu x0. Jeśli
(1) f jest różniczkowalna w x0,
(2) f (x) > 0 i f (x)
x"S-(x0) x"S+(x0)
albo f (x) 0,
x"S-(x0) x"S+(x0)
to x0 jest punktem przegięcia funkcji f.
Twierdzenie 3.33. Niech n " N \ {1}. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) ’! R jest n-krotnie różniczkowalna na
pewnym otoczeniu punktu x0 " (a, b). Jeśli
(1) f(k)(x0) = 0,
k"{1,...,n-1}
(2) f(n) jest ciągła w x0,
(3) f(n)(x0) = 0,
to f ma w x0
a) punkt przegięcia, gdy n jest liczbą nieparzystą;
b) ekstremum lokalne właściwe, gdy n jest liczbą parzystą, przy czym jest to
" maksimum lokalne w przypadku, gdy f(n)(x0)
" minimum lokalne w przypadku, gdy f(n)(x0) > 0.
2007, E. Kotlicka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]